Родившись в Перу, Генри Кьюсик переехал в Шотландию со своей семьей, когда ему было 15 лет. Выучившись в Королевской шотландской академии музыки и драмы, начал карьеру, как актер классического театра. Его первые ведущие роли на сцене - Дориан Грей в «Портрете Дориана Грея» с Рупертом Эвереттом и Гамлет в радикальной интерпретации шекспировской драмы – «Гамлете Маровица» по известной пьесе драматурга и режиссера Чарльза Маровица. Также он сыграл плута Хорнера в известной комедии эпохи Реставрации «Деревенская жена».
В 1994 году Генри Кьюсик сыграл впадающего в безумие итальянского поэта и придворного Торквато Тассо в постановке «Торквато Тассо» по стихотворной пьесе Иоганна Вольфганга фон Гёте на Эдинбургском международном фестивале и Креона в «Эдипе» в Гражданском театре Глазго. Эти роли в 1995 году принесли ему Премию Яна Чарльсона за выдающуюся игру молодого актера в классическом театре.
На экране он появлялся в сериалах «Несчастный случай» и «Книжная группа».
В 2003 году Генри Кьюсик снялся в роли Иисуса Христа в трехчасовом эпическом фильме «Визуальная Библия: Евангелие от Иоанна», представляющим собой практически дословную экранизацию Евангелия от Иоанна и созданным с привлечением ученых и богословов со всего мира.
В 2005 году Генри Кьюсик получил самую известную свою роль на телевидении — Десмонда Хьюма в культовом телесериале «Остаться в живых». Эта роль в 2005 году принесла актеру номинацию на премию «Эмми» в категории Лучший приглашённый актёр в драматическом телесериале.
В 2012 году Генри Кьюсик снялся в первом сезоне сериала «Скандал» с Кэрри Вашингтон, а с 2014 года снимался в сериале «100».
Генри Кьюсик также попробовал себя как режиссер - его короткометражный фильм «Платье», снятый в гавайском городке Кайлуа, был признан лучшим в своем жанре на Гавайском международном кинофестивале (HIFF) и на некоммерческом фестивале Peace on Earth Film Festival (POEFF), созданном для поощрения работ независимых кинематографистов, создающих фильмы на темы мира.
